Булева алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья содержит информацию об алгебраической структуре. Информация об основных операциях и понятиях булевой логики находится в статье Алгебра логики.

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

		ассоциативность
		коммутативность
		законы поглощения
		дистрибутивность
		дополнительность

Первые три аксиомы означают, что (A, , ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.

//

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

		дополнение 0 есть 1 и наоборот
		законы Моргана
		инволютивность отрицания

Примеры

• Самая простая булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:

• Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

• Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в даном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.

• Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.

• Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так:
  A = { e ∈ R : e² = e, ex = xe, ∀x ∈ R },
  тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями e ∨ f := e + f − ef и e ∧ f := ef.

Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Знаменитая теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне разобщённого хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 г. американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, т.е. будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y') + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 г. Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

Аудіоконференція

Аудіоконференція (Audioconference) - електронна конференція , у якій учасники , що перебувають у різних місцях , використовують телефони або спеціальне устаткування для аудіоконференций , з метою спілкування в реальному часі . Кількість учасників може бути від трьох до ста та більше.

Анкета

     Анкета    - цей модуль пропонує ряд перевірених інструментів необхідних для проведення анкетування, які можуть бути корисні в оцінці і стимулюванні процесу навчання в середовищі on-line.

-   Вбудовані дослідження (СOLLES, АТТLS) аналізу он-лайн-класів.

-   Завжди доступні звіти по дослідженнях. Дані можна зберегти у вигляді Ехсеl-таблиць чи СSV текстового файлу.

-   Студенту надсилається відгук на результати його дослідження порівняно з результатом класу.

У даний момент Moodle пропонує не тільки певні типи анкет (наступні версії дають можливість створення власних). Служать вони для ідентифікації трендів, які можуть з'явитися серед учасників курсу. Це:

COLLES (Constructivist On-Line Learning Environment Survey) - Анкета на тему конструктивістського середовища навчання on-line

             ATTLS (Attitudes to Thinking and Learning Survey) - Анкета на тему підходу до процесів мислення і навчання (містить 20 питань, при чому відповіді не впливають на результати навчання)